红盒子蓝盒子球概率
红盒子和蓝盒子里各有5个球,其中红盒子里有3个红球和2个白球,蓝盒子里有2个蓝球和3个白球。现在从两个盒子中任选一个盒子,并从该盒子中随机取出一个球。求取出的球是红球的概率。
条件概率
$$P(ex{红球}|ex{红盒子})=frac{ex{红球的数量}}{ex{总球的数量}}=frac{3}{5}$$
同理,假设我们选择了蓝盒子,则取出红球的概率为:
$$P(ex{红球}|ex{蓝盒子})=frac{ex{红球的数量}}{ex{总球的数量}}=frac{2}{5}$$
全概率公式
现在我们需要确定选择红盒子和选择蓝盒子的概率。假设选择红盒子的概率为$p$,则选择蓝盒子的概率为$1-p$。根据全概率公式,可得:
$$P(ex{红球})=P(ex{红球}|ex{红盒子})P(ex{红盒子}) P(ex{红球}|ex{蓝盒子})P(ex{蓝盒子})$$
将上面的公式代入,有:
$$P(ex{红球})=frac{3}{5}p frac{2}{5}(1-p)=frac{p}{5} frac{2}{5}$$
解方程求解
现在我们需要求解$p$,即选择红盒子的概率。将上面的公式带入条件$P(ex{红球})=frac{2}{5}$,有:
$$frac{p}{5} frac{2}{5}=frac{2}{5}$$
解得$p=0$,即我们选择蓝盒子的概率为1,从蓝盒子中取出红球的概率为$frac{2}{5}$。